Addition increased by more than combined, together total of sum added to Subtraction decreased by minus, less difference between/of less than, fewer than Multiplication of times, multiplied by product of increased/decreased by a factor of (this type can involve both addition or subtraction and multiplication!) Division per, a out of ratio of, quotient of percent (divide by 100) Equals is, are, was, were, will be gives, yields sold for La non-linéarité est la particularité, en mathématiques, de systèmes dont le comportement n'est pas linéaire, c'est-à-dire soit ne satisfaisant pas le principe de superposition, soit dont la sortie n'est pas proportionnelle à l'entrée. Les problèmes non-linéaires intéressent les mathématiciens et les physiciens car la plupart des systèmes physiques sont non-linéaires. Certains systèmes non-linéaires sont également chaotiques, comme la circulation atmosphérique. Introduction for explanation of function in math: Before giving the explanation of the function in math, we have to know, what is function in math? The function is nothing that gives the result for the given argument. The argument is also know and element of the function from the given set. Function is associated with domain and co domain. The element exists in domain is also exactly one element in co domain. Pre-requisite for Explanation of Function in Math: Constant and Variable: The value will not be changed during the mathematical process is called constant. The value will be changed during the mathematical process is called variable. Interval: The subset of real number is called interval Neighborhood. In a number line the neighborhood of a real number is defined as an open interval of very small length. Independent / Dependent Variable: A variable is an independent variable when it has any arbitrary value. A variable is said to be dependent when its value depends on other variables. Cartesian product: The Cartesian product of the two sets A and B is denoted by A x B and is denoted as Let A={ a1,a2,a3} B={b1,b2} A x B={ (a1,b1),(a1,b2)(a2,b1)(a2,b2)(a3,b1)(a3,b2)} Explanation of Function in Math: A function is a special type of relation. If no two ordered pairs have same first element and deferent second element, the relation is called function. If two ordered pairs have same first element and deferent second element, the relation is called not a function. If the element x in the set A is associated with element x in the set B is called image of the function. The set of images is called range of the function. If the range of function in not equal to the co domain, those functions are called mapping. Types of Functions for Explanation in Math: 1. Identity function: A function from a set A to the same set A is said to be an identity 2. Inverse of a function: To define the inverse of a function f i.e. f−1 (read as ‘f inverse’), the function f must be one-to-one and onto. 3. Constant function: If the range of a function is a singleton set, the function is called a constant function. 4. Linear function: If a function f : R → R is defined in the form f(x) = ax + b then the function is called a linear function. Here a and b are constants. 5. Polynomial function: If f : R→R is defined by f(x) = an xn + an − 1 xn − 1+ …+ a1x + a0, where a0, a1,…, an are real numbers, an≠0 then f is a polynomial function of degree n. L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit : « Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. » L'appel à l'axiome du choix n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini. L'axiome du choix devient, dans ce cas particulier, une simple conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de X. Il existe d'autres cas particuliers, où une telle fonction peut être explicitement définie. Par exemple, pour un ensemble X de sous-ensembles non vides des entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour x un élément de X, f(x) égal à l'élément minimal de x. On s'est servi de la propriété de bon ordre sur les entiers naturels, et non de l'axiome du choix. Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus. L'axiome du choix est souvent utilisé par l'intermédiaire de l'un des deux énoncés suivants qui lui sont équivalents: Théorème de Zermelo : « Tout ensemble non vide est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) » ; Lemme de Zorn : « Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal ». On montre facilement que le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix : comme pour les entiers naturels, si E est muni d'un bon ordre, le minimum pour celui-ci fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E (second énoncé équivalent). De même le lemme de Zorn a également facilement pour conséquence l'axiome du choix. [Dérouler]Démonstration de ce que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix.Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit I l'ensemble des fonctions de choix f pour une sous-famille Y de X. L'ensemble I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications. I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié, I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale Y de X. Si par l'absurde Y était différent de X, associer à un ensemble appartenant à X-Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc, Y=X et f est une fonction de choix pour X. Les réciproques sont un peu plus délicates. On peut utiliser dans les deux cas assez naturellement la théorie des ordinaux, mais il est possible de démontrer le lemme de Zorn en travaillant directement sur la structure d'ordre de l'inclusion sur un ensemble de parties (c'est un ensemble inductif). Le théorème de Zermelo se déduit simplement du lemme de Zorn. Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R ne permet en aucune façon de décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière. L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix. Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine. Explication : Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement. Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On pourrait penser que c'est une interprétation forcée de l'axiome[Quoi ?][Comment ?]. Mais Paul Cohen a montré en 1962 qu'il était possible de construire un modèle de ZF dans lequel une certaine réunion dénombrable d'ensembles à deux éléments n'est pas dénombrable, confirmant l'intuition de Russell.